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Un peu de Mathématiques

Accueil > Nombre de d'or > Définition mathématiques


Qu'est-ce que le nombre d'or ?

Le Nombre d'Or, noté par la lettre grec φ est la solution de l'équation mathématique : x² = x + 1. En résolvant on trouve :

φ = ( racine(5) + 1 ) / 2

En calculant ses puissances successives, on obtient :

φ² = φ + 1 (par définition)

φ³ = 2φ + 1

φ**4 = 3φ + 2

etc ........ Pour généraliser, nous avons :

φ**n = A(n)xφ + B(n) avec A(n) et B(n) deux suites numériques à valeurs entières.

On aura ainsi (je passe sur la démonstration par récurrence de la formule):

A(n+1) = A(n) + B(n) et B(n+1) = A(n)


On note par la lettre g l'inverse de φ, c'est à dire : g = 1 / φ. On aura donc les résultats suivants pour g :

g = 1 / φ = φ - 1

g² = -φ + 2

g³ = 2φ - 3

etc ........ Pour généraliser, nous avons :

g**n = C(n) + D(n), avec C(n) et D(n) deux suites numériques à valeurs entières. On aura :

c(n+1) = D(n) et D(n+1) = C(n) - D(n)


Ces calculs permettent de calculer Phi par valeurs approchées. On va ainsi monter une suite d'entiers qui va tendre vers Phi quand n est grand : Voici quelques valeurs de A, B, C, D en fonction de n .

n An Bn Cn Dn
1 1 - 1 -1
2 1 1 -1 2
3 2 1 2 -3
4 3 2 -3 5
5 5 3 5 -8
6 8 5 -8 13
7 13 8 13 -21
8 21 13 -21 34
9 34 21 34 -55
10 55 34 -55 89
11 89 55 89 -144
12 144 89 -244 233
13 233 144 233 -377

Après quelques autres calculs que je passerais (mais me ferais un plaisir d'envoyer à quiconque m'en ferait la demande), on obtient :

φ = Limite(n tend vers +∞) de | C(n+1) / C(n) |


Voila, c'est fait. J'espère que tout cela ne vous aura pas dégouté des Mathématiques. Dans les prochaines sections, nous verrons plus en détails les applications géométriques de φ, nombre d'or...


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