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Dans la Cathédrale :
Application pratique

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Pour pouvoir réaliser une oeuvre qui respecte la division harmonique, il faut pouvoir tracer des segments de certaines longueurs. Ainsi, avant même le début du chantier d'une cathédrale, il était nécessaire de déterminer une unité de mesure qui servirait à l'édification de l'oeuvre.

On définit ainsi le 1, l'unité. Pour ses multiples entiers, 2, 3, 4, ... , il suffit de reporter plusieurs fois la mesure. Pour les fractions, comme par exemple 1/2, 1/3, 1/4, ...., on utilisait des constructions géométriques pures. Par exemple, 1/2, c'est à dire la moitié de l'unité, s'obtenait en traçant la médiatrice du segment unité : cette droite est en effet le lieu d'équidistance des extrémités du segment ; elle coupe donc le segment en deux morceau égaux et en plus lui est perpendiculaire (nous avons donc une méthode géométrique pour réaliser un angle droit).

Toutefois la méthode utilisée dans la pratique sera celle de la corde à treize noeuds : on place le premier et le dernier noeud ensemble et on construit un triangle de côté 3-4-5 qui est rectangle d'après le théorême de Pythagore : 3² + 4² = 5².

Pour utiliser φ, il faut pouvoir tracer différentes racines carrés. Pour cela, on utlise de nouveau Pythagore mais cette fois ci dans le carré.

On trace un carré ou un rectangle et on construit sa diagonale. Dans un carré elle mesure : côté x racine(2). Pour le rectangle, elle mesure : racine ( Longueur² + largeur² ).

Ainsi la diagonale d'un carré de côté un vaut racine de 2 ( 1,4142 ). Il suffit ensuite de reporter cette mesure à l'aide d'un compas pour tracer des rectangles successifs dont les diagonales seront les racines d'entiers successifs. On notera racine carré par sqrt(x) ou x est un entier.


Longueur
largeur
diagonale
1
1
sqrt(2)
sqrt(2)
1
sqrt(3)
sqrt(3)
1
sqrt(4) = 2
sqrt(4) = 2
1
sqrt(5)
sqrt(5)
1
sqrt(6)

Ainsi on peut construire φ = ( sqrt(5) + 1 ) / 2 .


Les dimensions d'un cathédrale s'obtiennent par division d'une longueur par φ. On continuera souvent cette division avec le Majeur ou le Mineur.


Pour la cathédrale d'Amiens,nous avons :


Plan de la Cathédrale et Division Harmonique

Largeur de l'édifice : AB/φ=AG=AD (Majeur)

AG/φ=AJ puis AJ/φ=AI et enfin AI/φ=AK

Largeur du Portail du Sauveur : AJ-AI=IJ

Largeur des portails de la Mère Dieu et Saint Firmin : KI=AI-AK

IJ est aussi la largeur de la travée centrale et KI la largeur des collatéraux.

Avec des mesures chiffrées :

AD = 62m - AB = 100,32m - AN = 38,32m

D'où : JD = 14,64m et AK = 14,64m

Largeur intérieure de la Nef : IJ+2xKI=31,94m (KI = 9,04m)


Voici le tableau comparatif des valeurs mesurées dans la cathédrale et des valeurs calculées : il n'y a aucun commentaire à faire sur la précision des maître d'Oeuvre du Moyen Age.

Longeur
Mesurée
Calculée
IJ - Travée centrale
14,60m
14,64m
KI - Collatéraux
8,65m
9,04m
Largeur Nef
32m
31,94m

Plan de la Cathédrale et inscription de l'Etoile


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